Il vicinato di una funzione. Limite della sequenza di funzioni. MA. Limite di funzione. Definizione Epsilon-Delta Equivalenza delle definizioni dei limiti della funzione di Cauchy

Viene considerata la definizione generale di intorno di un punto sulla retta reale. Definizioni di quartieri epsilon, quartieri mancini, destrimani e perforati di punti finali e all'infinito. Proprietà di quartiere. Si dimostra un teorema sull'equivalenza dell'uso di un intorno epsilon e di un intorno arbitrario nella definizione del limite di Cauchy di una funzione.

Contenuto

Determinazione dell'intorno di un punto

Un intorno di un punto reale x 0 Qualsiasi intervallo aperto contenente questo punto è chiamato:
.
Qui ε 1 e ε 2 sono numeri positivi arbitrari.

Epsilon - intorno al punto x 0 è chiamato insieme di punti, la distanza da cui il punto x 0 minore di ε:
.

L'intorno perforato del punto x 0 è chiamato l'intorno di questo punto, dal quale il punto x stesso è stato escluso 0 :
.

Endpoint di quartiere

All'inizio è stata data la definizione di un intorno di un punto. È designato come . Ma puoi specificare esplicitamente che un quartiere dipende da due numeri usando gli argomenti appropriati:
(1) .
Cioè, un vicinato è un insieme di punti appartenenti a un intervallo aperto.

Uguagliando ε 1 a ε 2 , otteniamo epsilon - quartiere:
(2) .
Epsilon - un quartiere - è un insieme di punti appartenenti a un intervallo aperto con estremità equidistanti.
Naturalmente, la lettera epsilon può essere sostituita da qualsiasi altra e possiamo considerare δ - quartiere, σ - quartiere e così via.

Nella teoria dei limiti si può utilizzare la definizione di un intorno basato sia sull'insieme (1) che sull'insieme (2). L'uso di uno qualsiasi di questi intorni fornisce risultati equivalenti (vedi ). Ma la definizione (2) è più semplice, quindi è epsilon che viene spesso utilizzato, l'intorno di un punto determinato da (2).

Anche i concetti di intorni di punti finali mancini, destrimani e perforati sono ampiamente utilizzati. Presentiamo le loro definizioni.

Intorno sinistro di un punto reale x 0 è l'intervallo semiaperto situato sull'asse reale a sinistra di x 0 , incluso il punto stesso:
;
.

Intorno destro di un punto reale x 0 è l'intervallo semiaperto situato a destra di x 0 , incluso il punto stesso:
;
.

Quartieri di endpoint perforati

Quartieri perforati del punto x 0 sono gli stessi quartieri, dai quali il punto stesso è escluso. Sono identificati con un cerchio sopra la lettera. Presentiamo le loro definizioni.

Intorno perforato del punto x 0 :
.

Epsilon perforato - intorno al punto x 0 :
;
.

Quartiere sinistro forato:
;
.

Quartiere di destra forato:
;
.

Quartieri di punti all'infinito

Insieme ai punti finali, viene introdotta anche la nozione di intorno di punti all'infinito. Sono tutti forati perché all'infinito non esiste un numero reale (all'infinito è definito il limite di una sequenza infinitamente grande).

.
;
;
.

Era possibile determinare i dintorni di punti infinitamente distanti e quindi:
.
Ma invece di M, usiamo , in modo che un intorno con ε più piccolo sia un sottoinsieme di un intorno con ε più grande, proprio come per gli intorni di punti finali.

proprietà di quartiere

Successivamente, utilizziamo la proprietà ovvia dell'intorno di un punto (finito o all'infinito). Sta nel fatto che i quartieri di punti con valori minori di ε sono sottoinsiemi di quartieri con valori maggiori di ε . Presentiamo formulazioni più rigorose.

Sia un punto finito o infinitamente distante. Lasciarlo andare .
Quindi
;
;
;
;
;
;
;
.

Sono vere anche le affermazioni contrarie.

Equivalenza delle definizioni del limite di una funzione secondo Cauchy

Mostreremo ora che nella definizione del limite di una funzione secondo Cauchy si può usare sia un intorno arbitrario, sia un intorno con estremi equidistanti.

Teorema
Le definizioni di Cauchy del limite di una funzione che utilizzano intorni arbitrari e quartieri con estremità equidistanti sono equivalenti.

Prova

Formuliamo prima definizione del limite di una funzione.
Un numero a è il limite di una funzione in un punto (finito o all'infinito) se per qualsiasi numero positivo esistono numeri dipendenti da e , tali che per tutti , appartenga al corrispondente intorno del punto a :
.

Formuliamo seconda definizione del limite di una funzione.
Il numero a è il limite della funzione nel punto, se per ogni numero positivo esiste un numero dipendente, tale che per tutti:
.

Dimostrazione 1 ⇒ 2

Dimostriamo che se il numero a è il limite della funzione per la prima definizione, allora è anche il limite per la seconda definizione.

Lascia che valga la prima definizione. Ciò significa che esistono tali funzioni e , quindi per qualsiasi numero positivo vale quanto segue:
dove .

Poiché i numeri e sono arbitrari, li uguagliamo:
.
Quindi ci sono funzioni e , in modo che per qualsiasi valga:
dove .

Notare che .
Sia il più piccolo numero positivo e . Poi, come detto sopra,
.
Se poi .

Cioè, abbiamo trovato una tale funzione , in modo che per qualsiasi sia vero quanto segue:
dove .
Ciò significa che il numero a è il limite della funzione e per la seconda definizione.

Dimostrazione 2 ⇒ 1

Dimostriamo che se il numero a è il limite della funzione per la 2a definizione, allora è anche il limite per la 1a definizione.

Lascia che valga la seconda definizione. Prendi due numeri positivi e . E lascia che sia il più piccolo di loro. Allora, secondo la seconda definizione, esiste una tale funzione, per cui per ogni numero positivo e per tutti ne consegue che
.

Ma secondo . Pertanto, da quanto segue,
.

Quindi per tutti i numeri positivi e , abbiamo trovato due numeri , quindi per tutti :
.

Ciò significa che il numero a è anche il limite della prima definizione.

Il teorema è stato dimostrato.

Riferimenti:
LD Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.

texvc - quartiere impostato nell'analisi funzionale e nelle discipline correlate è un tale insieme, ogni punto del quale è rimosso dall'insieme dato di non più di Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \varepsilon .

Definizioni

• Lascia stare Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): (X,\varrho)è uno spazio metrico, Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): x_0 \in X, e Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): \varepsilon > 0. Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \varepsilon-quartiere Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc è chiamato insieme

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): U_(\varepsilon)(x_0) = \( x\in X \mid \varrho(x,x_0)< \varepsilon \}.

• Sia dato un sottoinsieme Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): A \subset X. Quindi Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \varepsilon-il quartiere di questo set è chiamato set

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): U_(\varepsilon)(A) = \bigcup\limits_(x \in A) U_(\varepsilon)(x).

Osservazioni

• Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \varepsilon-vicinato di un punto Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): x_0 così chiamato una palla aperta centrata a Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): x_0 e raggio Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \varepsilon.
• Ne consegue direttamente dalla definizione che

Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedi math/README per la guida alla configurazione.): U_(\varepsilon)(A) = \( x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y)< \varepsilon\}.

• Impossibile analizzare l'espressione (file eseguibile texvc non trovato; Vedere math/README per la guida alla configurazione.): \varepsilon-il quartiere è un quartiere e, in particolare, un insieme aperto.

Esempi

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Un estratto che caratterizza il quartiere di Epsilon

- Bene, cosa - ascolta? La bambina mi ha spinto con impazienza.
Ci siamo avvicinati... E ho sentito un tocco meravigliosamente morbido di un'onda scintillante... Era qualcosa di incredibilmente gentile, sorprendentemente affettuoso e rassicurante, e allo stesso tempo, penetrava nella vera "profondità" della mia sorpresa e leggermente diffidente anima... Una “musica” silenziosa correva lungo il mio piede, vibrando in milioni di sfumature diverse, e, alzandosi, cominciò ad avvolgermi con qualcosa di favolosamente bello, qualcosa al di là delle parole... Mi sentivo che stavo volando, anche se c'era nessun volo non era reale. È stato meraviglioso!.. Ogni cellula si dissolse e si sciolse nella nuova ondata in arrivo, e l'oro scintillante mi lavò attraverso, portando via tutto ciò che era brutto e triste e lasciando solo la luce pura e primordiale nella mia anima...
Non ho nemmeno sentito come sono entrato e mi sono immerso in questo miracolo scintillante quasi con la testa. Era semplicemente incredibilmente buono e non avrei mai voluto andarmene da lì...
- Va bene, basta già! Abbiamo un lavoro davanti a noi! La voce decisa di Stella irruppe nella bellezza radiosa. - Ti è piaciuto?
- Oh come! ho respirato. - Non volevo uscire!
- Esattamente! Quindi qualche "bagno" fino alla prossima incarnazione... E poi non tornano più qui...

Quali icone conosci oltre ai segni di disuguaglianza e al modulo?

Dal corso di algebra, conosciamo la seguente notazione:

- il quantificatore universale significa - "per qualsiasi", "per tutti", "per ciascuno", ovvero la voce dovrebbe essere letta "per qualsiasi epsilon positivo";

– quantificatore esistenziale, – esiste un valore che appartiene all'insieme dei numeri naturali.

- un lungo stick verticale si legge così: “tale che”, “tale che”, “tale che” o “tale che”, nel nostro caso, ovviamente, si tratta di un numero - quindi “tale che”;

- per tutti "en" maggiori di ;

- il segno del modulo indica la distanza, cioè questa voce ci dice che la distanza tra i valori è inferiore a epsilon.

Determinazione del limite di una sequenza

In effetti, riflettiamo un po': come formulare una definizione rigorosa di una sequenza? ... La prima cosa che viene in mente alla luce di una lezione pratica è: "il limite di una sequenza è il numero a cui i membri della sequenza si avvicinano infinitamente".

Ok, scriviamo la sequenza:

È facile vedere che la sottosequenza è infinitamente vicina al numero -1 e i termini pari sono vicini a "uno".

Forse due limiti? Ma allora perché una sequenza non può averne dieci o venti? In questo modo puoi andare lontano. A questo proposito, è logico presumere che se una sequenza ha un limite, allora è unica.

Nota: la sequenza non ha limite, ma da essa si possono distinguere due sottosequenze (vedi sopra), ognuna delle quali ha un proprio limite.

Pertanto, la definizione di cui sopra risulta insostenibile. Sì, funziona per casi come (che non ho usato correttamente nelle spiegazioni semplificate di esempi pratici), ma ora dobbiamo trovare una definizione rigorosa.

Tentativo due: "il limite di una sequenza è il numero a cui si avvicinano TUTTI i membri della sequenza, tranne forse un numero finito di essi". Questo è più vicino alla verità, ma non ancora del tutto accurato. Quindi, ad esempio, in una sequenza, metà dei membri non si avvicina affatto allo zero: sono semplicemente uguali ad esso =) A proposito, la "luce lampeggiante" generalmente assume due valori fissi.

La formulazione non è difficile da chiarire, ma poi sorge un'altra domanda: come scrivere la definizione in termini matematici? Il mondo scientifico ha lottato a lungo con questo problema, fino a quando la situazione non è stata risolta dal famoso maestro, che, in sostanza, ha formalizzato l'analisi matematica classica in tutto il suo rigore. Cauchy ha proposto di operare con i quartieri, il che ha notevolmente avanzato la teoria.

Considera un punto e il suo quartiere arbitrario:

Il valore di "epsilon" è sempre positivo e, inoltre, siamo liberi di sceglierlo noi stessi. Supponiamo che in un dato vicinato ci sia un insieme di membri (non necessariamente tutti) di una sequenza. Come annotare il fatto che, ad esempio, il decimo termine è caduto nel quartiere? Lascia che sia sul lato destro di esso. Quindi la distanza tra i punti e dovrebbe essere inferiore a "epsilon": . Se invece la “x decimo” si trova a sinistra del punto “a”, allora la differenza sarà negativa, e quindi ad essa dovrà essere aggiunto il segno del modulo: .

Definizione: un numero è detto limite di una sequenza se per uno qualsiasi dei suoi quartieri (precedentemente scelti) esiste un numero naturale - TALE che TUTTI i membri della sequenza con numeri più alti saranno all'interno del quartiere:

O più breve: se

In altre parole, non importa quanto piccolo sia il valore di "epsilon" che prendiamo, prima o poi la "coda infinita" della sequenza sarà COMPLETAMENTE in questo quartiere.

Quindi, ad esempio, la "coda infinita" della sequenza andrà COMPLETAMENTE in qualsiasi quartiere arbitrariamente piccolo del punto.Quindi, questo valore è il limite della sequenza per definizione. Ti ricordo che viene chiamata una sequenza il cui limite è zero infinitamente piccolo.

Si noti che per la sequenza non è più possibile dire "entrerà una coda infinita" - i termini con numeri dispari sono infatti uguali a zero e "non andare da nessuna parte" =) Ecco perché il verbo "fine up” è usato nella definizione. E, naturalmente, anche i membri di una sequenza come "non vanno da nessuna parte". A proposito, controlla se il numero sarà il suo limite.

Mostriamo ora che la successione non ha limiti. Si consideri, ad esempio, un intorno del punto. È abbastanza chiaro che non esiste un tale numero, dopo di che TUTTI i membri saranno in questo quartiere - i membri dispari "salteranno" sempre a "meno uno". Per una ragione simile, non c'è limite al punto.

Dimostra che il limite della sequenza è zero. Specificare il numero dopo il quale è garantito che tutti i membri della sequenza si trovino all'interno di qualsiasi quartiere arbitrariamente piccolo del punto.

Nota: per molte sequenze, il numero naturale desiderato dipende dal valore, da cui la notazione.

Soluzione: considera un quartiere arbitrario del punto e controlla se c'è un numero - in modo tale che TUTTI i termini con numeri più alti siano all'interno di questo quartiere:

Per dimostrare l'esistenza del numero richiesto, esprimiamo in termini di .

Poiché per qualsiasi valore "en", il segno del modulo può essere rimosso:

Utilizziamo le azioni "scuola" con le disuguaglianze, che ho ripetuto nelle lezioni Disuguaglianze lineari e Dominio di definizione di una funzione. In questo caso, una circostanza importante è che "epsilon" e "en" sono positivi:

Poiché a sinistra si parla di numeri naturali e il lato destro è generalmente frazionario, deve essere arrotondato:

Nota: a volte un'unità viene aggiunta al diritto per la riassicurazione, ma in realtà si tratta di un eccesso. Relativamente parlando, se indeboliamo anche il risultato arrotondando per difetto, il numero adatto più vicino ("tre") soddisferà comunque la disuguaglianza originale.

E ora guardiamo alla disuguaglianza e ricordiamo che inizialmente consideravamo un quartiere arbitrario, cioè "epsilon" può essere uguale a qualsiasi numero positivo.

Conclusione : per ogni vicinato arbitrariamente piccolo del punto, è stato trovato un valore tale che la disuguaglianza vale per tutti i numeri maggiori. Pertanto, un numero è il limite di una sequenza per definizione. QED

A proposito, dal risultato ottenuto, è chiaramente visibile uno schema naturale: più piccolo è il quartiere, maggiore è il numero dopo il quale TUTTI i membri della sequenza saranno in questo quartiere. Ma non importa quanto piccolo sia l'"epsilon", ci sarà sempre una "coda infinita" dentro e fuori, anche un numero grande, ma finito, di membri.

Minimo teorico

Il concetto di limite applicato alle successioni numeriche è già stato introdotto nell'argomento "".
Si consiglia di leggere prima il materiale ivi contenuto.

Passando all'argomento di questo argomento, ricordiamo il concetto di funzione. La funzione è un altro esempio di mappatura. Considereremo il caso più semplice
una funzione reale di un argomento reale (che è la complessità di altri casi - sarà discusso in seguito). La funzione all'interno di questo argomento è intesa come
la legge secondo la quale ad ogni elemento dell'insieme su cui è definita la funzione sono assegnati uno o più elementi
set chiamato l'insieme dei valori della funzione. Se ogni elemento dell'ambito di una funzione è associato a un elemento
insieme di valori, allora la funzione è chiamata a valore singolo, altrimenti la funzione è chiamata multivalore. Qui, per semplicità, parleremo solo di
funzioni inequivocabili.

Vorrei subito sottolineare la differenza fondamentale tra una funzione e una sequenza: gli insiemi collegati dalla mappatura in questi due casi sono sostanzialmente diversi.
Per evitare la necessità di utilizzare la terminologia della topologia generale, spieghiamo la differenza con l'ausilio di ragionamenti imprecisi. Quando si discute del limite
sequenze, abbiamo parlato di una sola opzione: la crescita illimitata del numero dell'elemento della sequenza. All'aumentare del numero, gli elementi stessi
le sequenze si sono comportate in modo molto più diverso. Potrebbero "accumularsi" in un piccolo quartiere di un certo numero; potrebbero crescere indefinitamente e così via.
In parole povere, l'assegnazione di una sequenza è l'assegnazione di una funzione su un "dominio" discreto. Se parliamo della funzione, la cui definizione è data
all'inizio dell'argomento, quindi, il concetto di limite dovrebbe essere costruito con maggiore attenzione. Ha senso parlare del limite della funzione quando il suo argomento tende a un certo valore .
Una tale formulazione della domanda non aveva senso in relazione alle sequenze. Occorre fare alcune precisazioni. Tutti loro sono correlati
come esattamente l'argomento tende al valore in questione.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi - per ora di passaggio:


Queste funzioni ci permetteranno di considerare una varietà di casi. Presentiamo qui i grafici di queste funzioni per una maggiore chiarezza di presentazione.

La funzione ha un limite in qualsiasi punto del dominio di definizione - questo è intuitivamente chiaro. Qualunque sia il punto del dominio di definizione che prendiamo,
puoi immediatamente dire a quale valore tende la funzione quando l'argomento tende al valore selezionato e il limite sarà finito, a meno che l'argomento
non va all'infinito. Il grafico della funzione ha un'interruzione. Ciò influisce sulle proprietà della funzione al punto di interruzione, ma dal punto di vista del limite
questo punto non è evidenziato. La funzione è già più interessante: a questo punto non è chiaro quale valore del limite assegnare alla funzione.
Se ci avviciniamo al punto a destra, allora la funzione tende a un valore, se a sinistra, la funzione tende a un altro valore. In precedenza
gli esempi non lo erano. La funzione, tendendo a zero, anche a sinistra, anche a destra, si comporta allo stesso modo, tendendo all'infinito -
in contrasto con la funzione, che tende all'infinito come l'argomento tende a zero, ma il segno dell'infinito dipende da come
lato arriviamo a zero. Infine, la funzione si comporta a zero in modo completamente incomprensibile.

Formalizziamo il concetto di limite usando il linguaggio epsilon-delta. La principale differenza rispetto alla definizione del limite di sequenza sarà la necessità
prescrivere il desiderio dell'argomento della funzione a un certo valore. Ciò richiede la nozione di punto limite di un insieme, che è ausiliaria in questo contesto.
Un punto è chiamato punto limite di un insieme se si trova in un qualsiasi vicinato contiene un numero infinito di punti,
appartenente e diverso da . Poco dopo sarà chiaro il motivo per cui una tale definizione è necessaria.

Quindi, il numero è chiamato il limite della funzione nel punto, che è il punto limite dell'insieme, su cui è definito
funzione se

Analizziamo questa definizione una per una. Qui individuiamo le parti relative al desiderio dell'argomento al valore e al desiderio della funzione
al valore. Si dovrebbe comprendere il significato generale della dichiarazione scritta, che può essere approssimativamente interpretato come segue.
La funzione tende a quando , se prendiamo un numero da un intorno sufficientemente piccolo del punto , lo faremo
ottenere il valore della funzione da un intorno sufficientemente piccolo del numero. E più piccolo sarà il vicinato del punto da cui vengono presi i valori
argomento, minore sarà l'intorno del punto in cui cadranno i valori corrispondenti della funzione.

Torniamo ancora alla definizione formale del limite e la leggiamo alla luce di quanto appena detto. Un numero positivo limita il quartiere
punto da cui prenderemo i valori dell'argomento. Inoltre, i valori dell'argomento, ovviamente, provengono dall'ambito della funzione e non coincidono con la funzione stessa.
punto: stiamo scrivendo aspirazione, non è un caso! Quindi, se prendiamo il valore dell'argomento dalla specificata -vicinanza del punto,
quindi il valore della funzione cadrà nella -vicinanza del punto .
Infine, uniamo la definizione. Non importa quanto piccolo scegliamo, il quartiere del punto, ci sarà sempre un tale quartiere del punto,
che quando scegliamo i valori dell'argomento da esso, arriveremo al quartiere del punto . Naturalmente, la dimensione è un quartiere di un punto in questo caso
dipende da quale quartiere del punto è stato dato. Se l'intorno del valore della funzione è sufficientemente grande, allora lo spread di valori corrispondente
l'argomento sarà ampio. Con una diminuzione in prossimità del valore della funzione, diminuirà anche lo spread corrispondente nei valori dell'argomento (vedi Fig. 2).

Resta da chiarire alcuni dettagli. In primo luogo, il requisito che il punto sia un limite elimina la necessità di occuparsi del punto
from -neighborhood generalmente appartiene al dominio della funzione. In secondo luogo, la partecipazione alla determinazione del limite della condizione si intende
che un argomento può avvicinarsi a un valore da sinistra o da destra.

Nel caso in cui l'argomento della funzione tenda all'infinito, il concetto di punto limite dovrebbe essere definito separatamente. chiamato limite
set point se per qualsiasi numero positivo l'intervallo contiene un insieme non numerabile
punti dal set.

Torniamo agli esempi. La funzione non è di particolare interesse per noi. Diamo un'occhiata più da vicino ad altre funzionalità.

Esempi.

Esempio 1 Il grafico della funzione presenta un nodo.
Funzione nonostante la singolarità in un punto, a questo punto ha un limite. La singolarità a zero è la perdita di levigatezza.

Esempio 2 Limiti unilaterali.
La funzione in un punto non ha limiti. Come già osservato, per l'esistenza di un limite è richiesto che quando
a sinistra ea destra la funzione aspirava allo stesso valore. Questo ovviamente non è il caso qui. Tuttavia, si può introdurre la nozione di limite unilaterale.
Se l'argomento tende a un dato valore dal lato di valori più grandi, allora si parla di limite di destra; se dal lato di valori più piccoli -
circa il limite di sinistra.
In caso di funzione
- limite di destra Possiamo però fare un esempio quando le infinite fluttuazioni del seno non interferiscono con l'esistenza del limite (peraltro bilaterale).
Un esempio potrebbe essere la funzione . Il grafico è sotto; comprensibilmente costruiscilo fino in fondo nel quartiere
origine non è possibile. Il limite a è uguale a zero.

Osservazioni.
1. Esiste un approccio per determinare il limite di una funzione che utilizza il limite di una sequenza - il cosiddetto. definizione di Heine. Lì, viene costruita una sequenza di punti che converge al valore richiesto
argomento - quindi la sequenza corrispondente di valori di funzione converge al limite della funzione per questo valore di argomento. Equivalenza della definizione di Heine e della definizione del linguaggio
"epsilon-delta" è dimostrato.
2. Il caso delle funzioni di due o più argomenti è complicato dal fatto che per l'esistenza di un limite in un punto è richiesto che il valore del limite sia lo stesso per qualsiasi modo l'argomento tenda a
al valore richiesto. Se c'è un solo argomento, puoi cercare il valore richiesto da sinistra o da destra. Nel caso di più variabili, il numero di opzioni aumenta notevolmente. Il caso delle funzioni
variabile complessa e richiede una discussione separata.